本节要解决的问题

本页是拉普拉斯变换：常用性质的专题笔记，重点展开两类容易混淆的移位性质。

本节重点回答：

1. “时移”为什么会在 $s$ 域产生指数因子 $e^{-as}$？
2. 时间延迟与 $s$ 域平移有什么区别？
3. 单位阶跃函数在时间延迟中起什么作用？
4. 纯延迟会怎样影响控制系统？

1. 前置回顾

对于 $t \ge 0$ 的函数 $f(t)$，单边拉普拉斯变换定义为：

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t$$

其中 $s=\sigma+j\omega$ 是复变量。因子 $e^{-st}$ 同时包含衰减部分 $e^{-\sigma t}$ 和振荡部分 $e^{-j\omega t}$。

在控制系统中通常研究因果信号，即系统在 $t=0$ 以后才开始响应，因此常使用单边拉普拉斯变换。

基本变换

时域函数 $f(t)$	$s$ 域函数 $F(s)$
$1$	$\dfrac{1}{s}$
$t$	$\dfrac{1}{s^2}$
$t^n$	$\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\dfrac{1}{s-a}$
$\sin \omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$\cos \omega t$	$\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$

2. 相关性质速查

设 $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$、$\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)$。

性质	时域	$s$ 域	主要用途
线性	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$	拆分复杂信号
时域微分	$f'(t)$	$sF(s)-f(0^-)$	把微分方程变成代数方程
时域积分	$\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau$	$\dfrac{F(s)}{s}$	分析积分环节
尺度变换	$f(at)$，$a>0$	$\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right)$	时间压缩与拉伸
$s$ 域平移	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$	处理指数与原函数的乘积
时间延迟	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	处理延迟输入和纯滞后环节
卷积	$(f*g)(t)$	$F(s)G(s)$	计算线性系统的零状态响应

初值定理和终值定理也很常用：

$$f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$$

$$f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s)$$

终值定理有稳定性条件，不能只看到公式就直接使用。通常要求 $sF(s)$ 的极点位于左半平面，原点处至多允许简单极点。

3. 两类容易混淆的移位

不同教材可能把下面两条性质都称为“位移”或“平移”。判断时不要只记名称，应观察时域中究竟发生了什么。

3.1 乘指数：$s$ 域平移

若

$$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$$

则

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$$

推导如下：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} &=\int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=\int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}\,\mathrm{d}t \\ &=F(s-a) \end{aligned}$$

因此：

$$\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a)$$

这里时域函数没有延后，只是乘了一个指数函数；改变的是 $F(s)$ 中 $s$ 的位置。

例：

$$\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin 3t\} =\frac{3}{(s+2)^2+9}$$

3.2 函数延后：时间延迟

定义单位阶跃函数：

$$u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a \\ 1, & t\ge a \end{cases}$$

若信号 $f(t)$ 延迟 $a$ 秒后才出现，则应写成：

$$f(t-a)u(t-a)$$

其拉普拉斯变换为：

$$\boxed{ \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s) }$$

反变换形式为：

$$\boxed{ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(t-a)u(t-a) }$$

图中右侧信号在 $t=a$ 之前保持为零，从 $t=a$ 开始复现原信号的形状。信号形状没有改变，只是整体向右移动了 $a$ 秒。

推导

由于 $t<a$ 时单位阶跃为零，积分下限可以从 $a$ 开始：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} &=\int_a^\infty f(t-a)e^{-st}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$$

令 $\tau=t-a$，则 $t=\tau+a$：

$$\begin{aligned} \int_a^\infty f(t-a)e^{-st}\,\mathrm{d}t &=\int_0^\infty f(\tau)e^{-s(\tau+a)}\,\mathrm{d}\tau \\ &=e^{-as}\int_0^\infty f(\tau)e^{-s\tau}\,\mathrm{d}\tau \\ &=e^{-as}F(s) \end{aligned}$$

这也给出了一个直观记忆：时域延迟 $a$ 秒，对应 $s$ 域乘以 $e^{-as}$。

4. 典型例题

例 1：延迟单位阶跃

信号在 $t=2$ 秒时从 0 跳变为 1：

$$f(t)=u(t-2)$$

因为 $\mathcal{L}\{1\}=1/s$，所以：

$$F(s)=\frac{e^{-2s}}{s}$$

例 2：延迟斜坡

$$f(t)=(t-3)u(t-3)$$

它是 $t$ 的单位斜坡整体延迟 3 秒，因此：

$$F(s)=e^{-3s}\mathcal{L}\{t\} =\frac{e^{-3s}}{s^2}$$

例 3：表达式不是标准移位形式

求 $t\,u(t-2)$ 的拉普拉斯变换。

这里不能直接写成 $e^{-2s}/s^2$，因为阶跃后面的函数是 $t$，不是 $t-2$。先改写：

$$t=(t-2)+2$$

于是：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{t\,u(t-2)\} &=\mathcal{L}\{[(t-2)+2]u(t-2)\} \\ &=e^{-2s}\left(\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s}\right) \end{aligned}$$

例 4：有限持续时间的脉冲

一个从 $t=1$ 开始、在 $t=3$ 结束的单位脉冲可以写成：

$$f(t)=u(t-1)-u(t-3)$$

因此：

$$F(s)=\frac{e^{-s}-e^{-3s}}{s}$$

5. 在控制系统中的意义

若控制信号经过 $L$ 秒的通信、计算或执行延迟，纯延迟环节可以表示为：

$$G_d(s)=e^{-Ls}$$

在频率轴 $s=j\omega$ 上：

$$G_d(j\omega)=e^{-j\omega L}$$

它的幅值为 1，但相位为 $-\omega L$。也就是说，纯延迟不直接改变信号幅值，却会增加相位滞后，可能降低系统的稳定裕度。机器人中的网络通信、传感器处理和执行器响应都可能引入这类延迟。

6. 常见错误

1. 漏写单位阶跃。 标准时间延迟形式是 $f(t-a)u(t-a)$，$u(t-a)$ 表示信号在 $a$ 之前为零。
2. 把延迟方向记反。 $e^{-as}$ 表示延迟 $a$ 秒；不要仅凭指数符号机械套用。
3. 没有把变量改写成 $t-a$。 遇到 $t\,u(t-a)$ 时，要先把 $t$ 写成 $(t-a)+a$。
4. 混淆两种移位。 $e^{at}f(t)$ 对应 $F(s-a)$；$f(t-a)u(t-a)$ 对应 $e^{-as}F(s)$。
5. 无条件使用终值定理。 系统不稳定或存在持续振荡时，终值可能不存在。

7. 自测

题目

1. 求 $\mathcal{L}\{e^{-4t}\cos 2t\}$。
2. 求 $\mathcal{L}\{(t-1)^2u(t-1)\}$。
3. 求 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{e^{-3s}}{s+2}\right\}$。
4. 判断 $3u(t-2)$ 与 $3u(t+2)$ 中哪一个表示延迟 2 秒。

查看答案

1. $\dfrac{s+4}{(s+4)^2+4}$。
2. $\dfrac{2e^{-s}}{s^3}$。
3. $e^{-2(t-3)}u(t-3)$。
4. $3u(t-2)$ 表示延迟 2 秒。

8. 当前理解与后续问题

一句话总结

拉普拉斯变换把时间延迟变成乘法因子 $e^{-as}$，使含有阶跃和纯滞后的系统仍能在 $s$ 域中统一分析。

待继续学习

• 结合分段函数继续练习单位阶跃表示法。
• 学习拉普拉斯反变换与部分分式展开。
• 理解纯延迟对系统稳定性和频率响应的具体影响。
• 使用仿真对比有延迟与无延迟闭环系统的阶跃响应。

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2026/7/24 20:09

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• 8cad8-feat: add embodied AI learning collection于 2026/7/24

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