拉普拉斯变换：常用性质

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具身智能自动控制拉普拉斯变换

本节目标

拉普拉斯变换的价值不只是查表，而是利用一组性质，把时域中的微分、积分、延迟和卷积转换成 $s$ 域中的代数运算。

本节系统整理：

线性与尺度变换。
时域微分与积分。
$s$ 域微分。
$s$ 域平移与时域延迟。
卷积定理。
初值定理与终值定理。
周期函数的拉普拉斯变换。

1. 定义与使用前提

对于因果函数 $f(t)$ ，单边拉普拉斯变换定义为：

F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t

其中 $s=\sigma+j\omega$ 。如果 $f(t)$ 分段连续，并且其增长速度不超过某个指数函数，通常可以找到使积分收敛的 $s$ 域范围。

自动控制经常使用单边拉普拉斯变换，因为它能够直接带入系统在 $t=0$ 前后的初始状态。

2. 性质总表

设：

\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),\qquad \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)

性质	时域表达	$s$ 域结果
线性	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$
尺度变换	$f(at)$ ， $a>0$	$\dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{s}{a}\right)$
一阶微分	$f'(t)$	$sF(s)-f(0^-)$
二阶微分	$f''(t)$	$s^2F(s)-sf(0^-)-f'(0^-)$
时域积分	$\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau$	$\dfrac{F(s)}{s}$
$s$ 域微分	$tf(t)$	$-\dfrac{\mathrm{d}F(s)}{\mathrm{d}s}$
$s$ 域平移	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
时间延迟	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$
卷积	$(f*g)(t)$	$F(s)G(s)$

这些性质可以按一个基本原则记忆：时域中较复杂的运算，经过拉普拉斯变换后往往会变成 $s$ 域中更容易处理的代数运算。

3. 线性性质

公式

\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\} =aF(s)+bG(s)

波形对照、完整推导和叠加例题见线性性质专题。

推导

\begin{aligned} \mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\} &=\int_0^\infty [af(t)+bg(t)]e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=a\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t +b\int_0^\infty g(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=aF(s)+bG(s) \end{aligned}

例子

\mathcal{L}\{3+2e^{-t}\} =\frac{3}{s}+\frac{2}{s+1}

线性性质允许先把复杂信号拆成多个简单信号，再分别查表或推导。

4. 尺度变换

若 $a>0$ ，则：

\mathcal{L}\{f(at)\} =\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)

$a>1$ 表示时域被压缩， $0<a<1$ 表示时域被拉伸。

例子

已知：

\mathcal{L}\{\sin t\}=\frac{1}{s^2+1}

取 $a=2$ ：

\begin{aligned} \mathcal{L}\{\sin 2t\} &=\frac{1}{2}F\left(\frac{s}{2}\right) \\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(s/2)^2+1} \\ &=\frac{2}{s^2+4} \end{aligned}

5. 时域微分性质

一阶微分

\boxed{ \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-) }

使用分部积分可以得到：

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'(t)\} &=\int_{0^-}^{\infty}f'(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=\left[f(t)e^{-st}\right]_{0^-}^{\infty} +s\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=sF(s)-f(0^-) \end{aligned}

高阶微分

\mathcal{L}\{f''(t)\} =s^2F(s)-sf(0^-)-f'(0^-)

更一般地：

\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} =s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)-\cdots-f^{(n-1)}(0^-)

在自动控制中的作用

考虑微分方程：

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=r(t)

当初始状态为零时，进行拉普拉斯变换：

(s^2+3s+2)Y(s)=R(s)

于是得到传递函数：

G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{1}{s^2+3s+2}

这就是拉普拉斯变换在控制理论中的核心用途：把微分方程变成代数方程。

6. 时域积分性质

定义：

g(t)=\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau

由于 $g'(t)=f(t)$ 且 $g(0)=0$ ，利用微分性质可得：

sG(s)=F(s)

因此：

\boxed{ \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right\} =\frac{F(s)}{s} }

这说明时域中的积分对应 $s$ 域除以 $s$ 。控制系统中的理想积分环节因此写成 $1/s$ 。

7. $s$ 域微分性质

对 $F(s)$ 关于 $s$ 求导：

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}F(s)}{\mathrm{d}s} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \int_0^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=-\int_0^\infty tf(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

所以：

\boxed{ \mathcal{L}\{tf(t)\} =-\frac{\mathrm{d}F(s)}{\mathrm{d}s} }

推广到高阶：

\mathcal{L}\{t^nf(t)\} =(-1)^n\frac{\mathrm{d}^nF(s)}{\mathrm{d}s^n}

例子

已知：

\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}

因此：

\mathcal{L}\{te^{-at}\} =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\frac{1}{s+a} =\frac{1}{(s+a)^2}

8. 两种移位性质

$s$ 域平移

\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)

时域函数乘以指数函数，会让 $F(s)$ 中的 $s$ 发生平移。

时间延迟

\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} =e^{-as}F(s)

时域信号整体延迟 $a$ 秒，会让 $s$ 域函数乘以 $e^{-as}$ 。

两类移位应分开学习：

时移性质：信号延迟、单位阶跃和纯滞后环节。
频移性质：指数包络、复频域平移和极点位置。

9. 卷积定理

两个函数的卷积定义为：

(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau

卷积定理为：

\boxed{ \mathcal{L}\{(f*g)(t)\}=F(s)G(s) }

对应的反变换为：

\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} =(f*g)(t)

对于线性时不变系统，输入为 $r(t)$ 、单位脉冲响应为 $g(t)$ 时，零状态响应为：

y(t)=(g*r)(t)

在 $s$ 域中则简化为：

Y(s)=G(s)R(s)

这就是传递函数能够用乘法连接系统模块的数学基础。

10. 初值定理

在相关极限存在时：

\boxed{ f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s) }

初值定理可以在不进行反变换的情况下检查响应的初始值，也可以用于验证计算结果是否合理。

11. 终值定理

\boxed{ f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s) }

终值定理不能无条件使用。通常要求 $sF(s)$ 的极点都位于左半平面，原点处至多允许简单极点；如果系统发散或持续振荡，终值通常不存在。

例子

设：

F(s)=\frac{1}{s(s+2)}

初值为：

f(0^+)=\lim_{s\to\infty}\frac{1}{s+2}=0

终值为：

f(\infty)=\lim_{s\to0}\frac{1}{s+2}=\frac{1}{2}

12. 周期函数

若 $f(t)$ 的周期为 $T$ ，即 $f(t+T)=f(t)$ ，则：

\boxed{ \mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{\displaystyle\int_0^T f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t} {1-e^{-sT}} }

这条性质把无限多个周期的积分，转换成单个周期上的积分。它适合处理周期脉冲、方波和重复输入。

13. 如何选择性质

看到的时域结构	优先想到的性质
多个函数相加	线性性质
$f(at)$	尺度变换
$f'(t)$ 、 $f''(t)$	时域微分与初始条件
$\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau$	时域积分
$tf(t)$ 、 $t^nf(t)$	$s$ 域微分
$e^{at}f(t)$	$s$ 域平移
$f(t-a)u(t-a)$	时间延迟
卷积积分	卷积定理
只求开始或最终状态	初值或终值定理
周期重复信号	周期函数公式