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拉普拉斯变换：频移性质

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具身智能自动控制拉普拉斯变换

1. 性质说明

频移性质也常称为 复频域平移性质 或 ss 域平移性质。

若：

L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)

则：

L{eatf(t)}=F(s−a)\boxed{ \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a) }

特别地，当 a>0a>0 时：

L{e−atf(t)}=F(s+a)\boxed{ \mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a) }

也就是说，时域中乘以指数函数，会使拉普拉斯变换在复频域中发生平移。

拉普拉斯变换频移性质示意图

图中以 f(t)=sin⁡ωtf(t)=\sin \omega t 为例。乘以衰减指数 e−ate^{-at} 后，信号的振幅逐渐减小；在 ss 平面中，原本位于 ±jω\pm j\omega 的极点移动到 −a±jω-a\pm j\omega。

2. 推导

根据定义：

L{eatf(t)}=∫0∞eatf(t)e−st dt=∫0∞f(t)e−(s−a)t dt=F(s−a)\begin{aligned} \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} &=\int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=\int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}\,\mathrm{d}t \\ &=F(s-a) \end{aligned}

如果乘的是 e−ate^{-at}：

L{e−atf(t)}=F(s+a)\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a)

符号可以这样检查：把 e−ate^{-at} 和定义中的 e−ste^{-st} 合并，得到 e−(s+a)te^{-(s+a)t}，所以应将 F(s)F(s) 中的 ss 替换为 s+as+a。

3. 例题一：指数衰减

已知：

L{1}=1s\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}

求 e−2te^{-2t} 的拉普拉斯变换。

将 F(s)=1/sF(s)=1/s 中的 ss 替换成 s+2s+2：

L{e−2t}=1s+2\boxed{ \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2} }

对应的极点从原点移动到 s=−2s=-2。

4. 例题二：衰减正弦信号

已知：

L{sin⁡3t}=3s2+9\mathcal{L}\{\sin 3t\}=\frac{3}{s^2+9}

求：

L{e−2tsin⁡3t}\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin 3t\}

把 ss 替换为 s+2s+2：

L{e−2tsin⁡3t}=3(s+2)2+9\boxed{ \mathcal{L}\{e^{-2t}\sin 3t\} =\frac{3}{(s+2)^2+9} }

它的极点为：

s=−2±j3s=-2\pm j3

实部 −2-2 决定指数衰减速度，虚部 ±3\pm3 决定振荡角频率。

5. 例题三：使用频移性质求反变换

求：

L−1{2(s+1)2+4}\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{(s+1)^2+4} \right\}

先识别基本形式：

L{sin⁡2t}=2s2+4\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\frac{2}{s^2+4}

题目中 ss 被替换为 s+1s+1，因此时域需要乘以 e−te^{-t}：

f(t)=e−tsin⁡2t\boxed{ f(t)=e^{-t}\sin 2t }

6. 与时移性质的区别

对比项频移性质时移性质
时域操作乘 eate^{at}延迟并乘 u(t−a)u(t-a)
ss 域结果F(s−a)F(s-a)e−asF(s)e^{-as}F(s)
信号何时开始通常仍从 t=0t=0 开始从 t=at=a 开始
主要影响指数包络和极点实部整体出现时间和相位滞后

频移性质不是把信号向左或向右移动时间；时间延迟的详细内容见时移性质专题。

7. 在控制系统中的意义

频移性质可以帮助观察指数衰减或增长如何改变系统极点：

  • 乘 e−ate^{-at}，a>0a>0：极点向左移动，响应增加指数衰减。
  • 乘 eate^{at}，a>0a>0：极点向右移动，响应增长更快，可能趋于不稳定。

需要注意：这里的“频移”是对复变量 s=σ+jωs=\sigma+j\omega 的整体平移，不应简单等同于傅里叶变换中只沿频率轴移动频谱。

8. 常见错误

  1. 符号记反。 e−ate^{-at} 对应 F(s+a)F(s+a)，可以通过合并指数检查。
  2. 与时间延迟混淆。 e−atf(t)e^{-at}f(t) 不是 f(t−a)u(t−a)f(t-a)u(t-a)。
  3. 只替换部分 ss。 使用 F(s+a)F(s+a) 时，表达式中所有 ss 都要一起替换。
  4. 忽略极点变化。 频移会改变极点实部，从而改变信号的衰减或增长特性。

9. 自测

题目

  1. 求 L{e−3tcos⁡2t}\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos 2t\}。
  2. 求 L{e2tt}\mathcal{L}\{e^{2t}t\}。
  3. 求 L−1{s+4(s+4)2+9}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+4}{(s+4)^2+9}\right\}。
查看答案
  1. s+3(s+3)2+4\dfrac{s+3}{(s+3)^2+4}。
  2. 1(s−2)2\dfrac{1}{(s-2)^2}。
  3. e−4tcos⁡3te^{-4t}\cos 3t。

10. 一句话总结

时域乘以指数函数，会使拉普拉斯变换中的复变量 ss 整体平移，并直接改变信号的指数包络和极点位置。

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2026/7/24 20:09
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