拉普拉斯变换：线性性质

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具身智能自动控制拉普拉斯变换

1. 性质说明

若：

\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),\qquad \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)

对于常数 $a$ 、 $b$ ，有：

\boxed{ \mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\} =aF(s)+bG(s) }

它表达了两个事实：

根据拉普拉斯变换的定义：

\begin{aligned} \mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\} &=\int_0^\infty [af(t)+bg(t)]e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=a\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t +b\int_0^\infty g(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t \\ &=aF(s)+bG(s) \end{aligned}

线性性质来自积分本身的线性，因此只要各项的拉普拉斯变换存在，就可以拆开计算。

求：

\mathcal{L}\{3+2e^{-t}-4\sin 2t\}

分别使用：

\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}

\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}

\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\frac{2}{s^2+4}

所以：

\boxed{ \mathcal{L}\{3+2e^{-t}-4\sin 2t\} =\frac{3}{s}+\frac{2}{s+1}-\frac{8}{s^2+4} }

求：

\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{s^2}+\frac{3}{s+4} \right\}

分别反变换：

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}=t

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+4}\right\}=e^{-4t}

因此：

\boxed{ f(t)=2t+3e^{-4t} }

对于线性时不变系统：

Y(s)=G(s)R(s)

若输入由两部分组成：

r(t)=r_1(t)+r_2(t)

则：

R(s)=R_1(s)+R_2(s)

系统输出为：

\begin{aligned} Y(s) &=G(s)[R_1(s)+R_2(s)] \\ &=G(s)R_1(s)+G(s)R_2(s) \\ &=Y_1(s)+Y_2(s) \end{aligned}

这说明可以分别计算系统对每个输入分量的响应，再把响应相加。这正是线性系统叠加原理在 $s$ 域中的表现。

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拉普拉斯变换保持常数倍和加法结构，因此复杂信号可以拆成简单分量分别变换，再将结果线性组合。

2026/7/24 20:09

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