1. 几何模型的定义

几何模型是通过几何空间中的距离、角度或流形结构来建模数据关系的算法框架。

• 欧氏几何：基于欧氏空间（直角坐标系），采用欧氏距离（直线距离）度量数据关系，适用于线性可分问题（如SVM中的超平面划分）。
• 黎曼几何：研究流形上的几何结构，通过测地线（流形上的最短路径）度量距离，适用于非线性高维数据（如人脸图像流形）。

2. 线（Line）与面（Surface）

• 线：
  • 在欧氏空间中定义为两点间的最短路径（直线）。
  • 在机器学习中，线性模型（如线性回归）通过超平面（高维空间中的“线”）划分数据。
• 面：
  • 二维流形（如球面、环面），局部类似于欧氏平面。
  • 在降维任务中，数据可能分布在低维流形面上（如手写数字图像分布在10维流形上）。

3. 流形（Manifold）与降维

• 流形定义：
  流形是局部近似欧氏空间的拓扑空间。例如，地球表面是二维流形，局部可视为平面。
• 流形假设：高维数据实际分布在低维流形上（如MNIST手写数字图像在约10维流形上）。
• 降维应用：
  通过流形学习将高维数据映射到低维流形空间，保留局部或全局结构（如t-SNE可视化基因表达数据）。

4. 典型流形学习算法

算法	核心原理	应用场景
Isomap（等距映射）	保持测地线距离（流形上的最短路径）	人脸识别、3D姿态估计
LLE（局部线性嵌入）	保持局部线性重构关系	文本主题降维、图像聚类
拉普拉斯特征映射	基于图拉普拉斯矩阵保持局部邻域关系	社交网络分析、推荐系统
t-SNE	通过t分布保持高维与低维空间的概率相似性	高维数据可视化

5. Isomap（等距映射）原理

核心步骤：

1. 构建邻接图：
   • 选择k近邻或ε邻域（如k=10）连接数据点。
2. 计算测地线距离：
   • 通过Dijkstra算法求图中所有点对的最短路径（替代欧氏距离）。
3. 多维缩放（MDS）：
   • 将测地线距离矩阵映射到低维空间，保持距离不变性。

示例：
瑞士卷数据集（3D）通过Isomap映射到2D后，展开为平面结构，而PCA无法实现这一非线性展开。

6. LLE（局部线性嵌入）原理

核心步骤：

1. 邻域选择：
   • 对每个数据点选取k近邻（如k=12）。
2. 局部线性重构：
   • 用邻域点的线性组合表示中心点，最小化重构误差：

     $$\min_W \sum_i \left\| x_i - \sum_j W_{ij}x_j \right\|^2$$

3. 低维嵌入：
   • 保持权重矩阵不变，求解低维坐标 $$ y_i $$：

     $$\min_Y \sum_i \left\| y_i - \sum_j W_{ij}y_j \right\|^2$$

优势：对噪声鲁棒性强，适合文本词向量降维（如100维→3D可视化）。

7. 拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）

核心步骤：

1. 构建相似图：
   • 用高斯核计算邻域相似度（热核权重）：

     $$W_{ij} = \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\right)$$

2. 图拉普拉斯矩阵：
   • 定义拉普拉斯矩阵 $L = D - W$，其中 $D$ 为度矩阵（对角阵）。
3. 特征分解：
   • 求解广义特征问题 $Lv = \lambda Dv$，取最小非零特征值对应的特征向量作为低维嵌入。

应用：社交网络用户分群（保持用户互动关系的局部结构）。

8.总结

算法	核心思想	适用场景
Isomap	保持全局测地线距离	3D模型展开、地理数据
LLE	保持局部线性关系	文本/图像聚类
拉普拉斯特征映射	保持局部邻域相似性	图结构数据分群

几何模型通过流形学习突破线性降维局限，成为处理高维复杂数据的核心工具。其发展正与深度学习结合（如流形正则化），推动更高效的非线性表征学习。

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