一、等价关系

定义

等价关系是集合 $A$ 上的二元关系 $R$，满足以下三个性质：

1. 自反性：$\forall a \in A, (a, a) \in R$；
2. 对称性：若 $(a, b) \in R$，则 $(b, a) \in R$；
3. 传递性：若 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in R$，则 $(a, c) \in R$。

示例：

• 实数集上的“等于”关系；
• 整数集上的模$n$同余关系（如$a \equiv b \pmod{3}$）。

二、等价类

定义

设 $R$ 是集合 $A$ 上的等价关系，对任意 $a \in A$，其等价类定义为：

$$[a]_R = \{ x \in A \mid (x, a) \in R \}$$

即所有与 $a$ 等价的元素组成的子集。

性质

1. 覆盖性：所有等价类的并集等于 $A$；
2. 互斥性：任意两个等价类要么相等，要么不相交；
3. 划分性：等价类的集合构成 $A$ 的划分。

示例：

• 对整数集 $\mathbb{Z}$ 和模3同余关系，等价类为：

  $$[0]_3 = \{ ..., -6, -3, 0, 3, 6, ... \}$$

  $$[1]_3 = \{ ..., -5, -2, 1, 4, 7, ... \}$$

  $$[2]_3 = \{ ..., -4, -1, 2, 5, 8, ... \}$$

三、偏序关系

定义

偏序关系是集合 $A$ 上的二元关系 $R$，满足：

1. 自反性：$\forall a \in A, (a, a) \in R$；
2. 反对称性：若 $(a, b) \in R$ 且 $(b, a) \in R$，则 $a = b$；
3. 传递性：若 $(a, b) \in R$ 且 $(b, c) \in R$，则 $(a, c) \in R$。

示例：

• 集合的包含关系（$\subseteq$）；
• 自然数集上的整除关系（$a \mid b$）；
• 实数集上的小于等于关系（$\leq$）。

全序关系：若偏序关系中任意两元素均可比较，则称为全序关系（如实数集的$\leq$）。

四、例题

例题1：验证等价关系

题目：设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，关系 $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)\}$，判断 $R$ 是否为等价关系。

解：

1. 自反性：所有对角元素 $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ 均存在，满足；
2. 对称性：所有非对角元素均对称（如 $(1,2)$ 与 $(2,1)$），满足；
3. 传递性：需验证所有可能的传递链：
   • $(1,2) \land (2,3) \implies (1,3) \in R$，满足；
   • 其他组合类似，均满足。
     结论：$R$ 是等价关系。

例题2：确定等价类

题目：在整数集 $\mathbb{Z}$ 上定义关系 $R$：$a R b \iff a^2 \equiv b^2 \pmod{7}$。求所有等价类。

解：

1. 计算模7的平方剩余：
   • $0^2 \equiv 0 \pmod{7}$
   • $1^2 \equiv 1 \pmod{7}$
   • $2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
   • $3^2 \equiv 2 \pmod{7}$
   • $4^2 \equiv 2 \pmod{7}$
   • $5^2 \equiv 4 \pmod{7}$
   • $6^2 \equiv 1 \pmod{7}$
2. 等价类划分：
   • $[0]_R = \{ x \mid x \equiv 0 \pmod{7} \}$
   • $[1]_R = \{ x \mid x \equiv 1 \text{ 或 } 6 \pmod{7} \}$
   • $[2]_R = \{ x \mid x \equiv 3 \text{ 或 } 4 \pmod{7} \}$
   • $[4]_R = \{ x \mid x \equiv 2 \text{ 或 } 5 \pmod{7} \}$

例题3：偏序关系的判定

题目：集合 $A = \{2, 3, 4, 6, 8, 12\}$，关系 $R$ 定义为整除关系（$a \mid b$）。验证 $R$ 是否为偏序关系。

解：

1. 自反性：每个数均能整除自身，满足；
2. 反对称性：若 $a \mid b$ 且 $b \mid a$，则 $a = b$（如 $2 \mid 4$ 但 $4 \nmid 2$，不违反）；
3. 传递性：若 $a \mid b$ 且 $b \mid c$，则 $a \mid c$（如 $2 \mid 4$ 且 $4 \mid 8 \implies 2 \mid 8$）。
   结论：$R$ 是偏序关系，但非全序（例如 $3$ 和 $4$ 不可比较）。

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