一、覆盖的定义

覆盖是集合论中将集合分割为若干非空子集（称为分块）的方式，需满足以下条件：

• 全覆盖性：集合中每个元素至少属于一个分块；
• 非空性：所有分块均为非空子集。

形式化定义：
设集合 $A \neq \emptyset$，若存在子集族 $S = \{S_1, S_2, \ldots, S_m\}$，满足：

1. $\forall S_i \in S, S_i \neq \emptyset$；
2. $\bigcup_{i=1}^m S_i = A$，
   则称 $S$ 是 $A$ 的覆盖 。

示例：

• 对集合 $A = \{a, b, c\}$，子集族 $S = \{\{a, b\}, \{b, c\}\}$ 是覆盖，因为 $a, b, c$ 均属于至少一个分块。

二、划分的定义

划分是覆盖的严格形式，需额外满足：

• 互斥性：任意两个不同分块的交集为空。

形式化定义：
若子集族 $S = \{S_1, S_2, \ldots, S_m\}$ 满足：

1. 覆盖的所有条件；
2. $\forall S_i, S_j \in S (i \neq j), S_i \cap S_j = \emptyset$，
   则称 $S$ 是 $A$ 的划分 。

示例：

• 对集合 $A = \{a, b, c\}$，子集族 $D = \{\{a\}, \{b, c\}\}$ 是划分，因为元素互斥且全覆盖；
• $E = \{\{a\}, \{b\}, \{c\}\}$ 是最大划分（分块数量最多），而 $G = \{\{a, b, c\}\}$ 是最小划分（仅含全集）。

三、覆盖与划分的关系

1. 包含关系：
   • 所有划分都是覆盖，但覆盖不一定是划分；
   • 划分要求分块间无交集，覆盖允许分块重叠 。
2. 示例对比：
   • 覆盖但非划分：$Q = \{\{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}\}$（元素 $a$ 属于多个分块）；
   • 非覆盖非划分：$F = \{\{a\}, \{a, c\}\}$（元素 $b$ 未被覆盖）。

四、例题解析

例题1：判断覆盖与划分

题目：集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，判断以下子集族是否为覆盖或划分：

1. $S_1 = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{3, 4\}\}$
2. $S_2 = \{\{1\}, \{2, 3\}, \{4\}\}$

解：

1. $S_1$ 是覆盖：

   • 所有元素均被覆盖（$1 \in \{1,2\}$，$2 \in \{1,2\}$ 和 $\{2,3\}$，$3 \in \{2,3\}$ 和 $\{3,4\}$，$4 \in \{3,4\}$）；
   • 非划分：元素 $2$ 和 $3$ 属于多个分块 。

2. $S_2$ 是划分：

   • 元素互斥（$\{1\}$、$\{2,3\}$、$\{4\}$ 互不相交）；
   • 全覆盖（所有元素均被唯一分块覆盖）。

例题2：构造划分

题目：集合 $B = \{x, y, z\}$，构造其所有可能的划分。

解：

1. 最大划分：$\{\{x\}, \{y\}, \{z\}\}$；
2. 最小划分：$\{\{x, y, z\}\}$；
3. 其他划分：
   • $\{\{x\}, \{y, z\}\}$；
   • $\{\{y\}, \{x, z\}\}$；
   • $\{\{z\}, \{x, y\}\}$ 。

例题3：覆盖的应用

题目：在数据库设计中，如何用覆盖表示“学生选课关系”？

解：

• 设学生集合 $S = \{s_1, s_2\}$，课程集合 $C = \{c_1, c_2\}$；
• 选课关系为覆盖 $R \subseteq S \times C$，例如 $R = \{\{s_1, c_1\}, \{s_2, c_2\}\}$，表示每个学生选课情况 。

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