序偶与笛卡尔积

约 662 字大约 2 分钟

一、序偶（Ordered Pair）

定义

序偶是由两个元素 $x$ 和 $y$ 按固定次序组成的二元组，记作 $\langle x, y \rangle$ 或 $(x, y)$ 。其中 $x$ 称为第一元素， $y$ 称为第二元素。

特点

顺序性： $\langle a, b \rangle \neq \langle b, a \rangle$ （除非 $a = b$ ）。
相等条件： $\langle a, b \rangle = \langle c, d \rangle$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ 。

二、有序n元组（Ordered n-tuple）

定义

有序n元组是序偶的扩展，由 $n$ 个元素按顺序排列组成，记作 $\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle$ 。其递归定义为：

三元组： $\langle x_1, x_2, x_3 \rangle = \langle \langle x_1, x_2 \rangle, x_3 \rangle$ 。
n元组： $\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle = \langle \langle x_1, \ldots, x_{n-1} \rangle, x_n \rangle$ 。

相等条件

两个n元组相等当且仅当每个对应位置的元素均相等，即：
$\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle = \langle y_1, y_2, \ldots, y_n \rangle \iff x_i = y_i \ (\forall i=1,2,\ldots,n)$ 。

三、笛卡尔积（Cartesian Product）

定义

设 $A$ 和 $B$ 为集合，其笛卡尔积定义为所有以 $A$ 中元素为第一元素、 $B$ 中元素为第二元素的有序对的集合，记作：

A \times B = \{ \langle x, y \rangle \mid x \in A \land y \in B \}

推广： $n$ 阶笛卡尔积 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ \langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle \mid x_i \in A_i \}$ 。

四、笛卡尔积的性质

基数：若 $|A|=m$ ， $|B|=n$ ，则 $|A \times B| = m \times n$ 。
非交换性： $A \times B \neq B \times A$ （除非 $A = B$ 或其中一个为空集）。
分配律：
- $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
- $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ 。
空集处理： $A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset$ 。

五、例题

例题1：计算笛卡尔积

题目：设 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{1, 2\}$ ，求 $A \times B$ 和 $B \times A$ 。
解：

$A \times B = \{ \langle a,1 \rangle, \langle a,2 \rangle, \langle b,1 \rangle, \langle b,2 \rangle \}$
$B \times A = \{ \langle 1,a \rangle, \langle 1,b \rangle, \langle 2,a \rangle, \langle 2,b \rangle \}$
结论： $A \times B \neq B \times A$ 。

例题2：验证分配律

题目：设 $A = \{x\}$ ， $B = \{1\}$ ， $C = \{2\}$ ，验证 $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ 。
解：

$B \cup C = \{1, 2\}$
$A \times (B \cup C) = \{ \langle x,1 \rangle, \langle x,2 \rangle \}$
$(A \times B) \cup (A \times C) = \{ \langle x,1 \rangle \} \cup \{ \langle x,2 \rangle \} = \{ \langle x,1 \rangle, \langle x,2 \rangle \}$
结论：等式成立。