一、什么是谓词逻辑？

谓词逻辑是命题逻辑的扩展，用于描述个体对象之间的逻辑关系，能够表达“所有”“存在”等量化命题。其核心要素包括：

• 个体词：表示具体对象（如$x$、$y$）或特定实体（如$a$表示“老张”）。
• 谓词：表示个体性质（如$P(x)$表示“x是素数”）或个体间关系（如$R(x,y)$表示“x是y的父亲”）。
• 量词：全称量词（$\forall$，表示“所有”）和存在量词（$\exists$，表示“存在”）。

与命题逻辑的区别：

• 命题逻辑处理原子命题的真值组合，无法分析命题内部结构；
• 谓词逻辑可分析个体间关系，并支持量化表达式（如$\forall x (P(x) \to Q(x))$）。

二、什么是量词？

量词用于描述个体域中命题的覆盖范围，主要分为两类：

1. 全称量词（$\forall$）

• 表示“对所有个体成立”，例如：$\forall x (Human(x) \to Mortal(x))$（“所有人都会死”）。
• 特性：常与蕴含联结词（$\to$）配合使用。

2. 存在量词（$\exists$）

• 表示“至少存在一个个体满足条件”，例如：$\exists x (Student(x) \land StudyMath(x))$（“存在学习数学的学生”）。
• 特性：常与合取联结词（$\land$）配合使用。

注意事项：

• 量词的顺序不可随意颠倒（如$\forall x \exists y R(x,y)$与$\exists y \forall x R(x,y)$含义不同）。
• 量词的作用范围称为辖域，如$\forall x (P(x) \to \exists y Q(x,y))$中，$x$的辖域是整个蕴含式。

三、什么是特性谓词？

特性谓词是用于限定个体域的谓词，当使用全总个体域（所有可能个体的集合）时，必须通过特性谓词明确讨论的具体范围。
规则：

• 全称量词后接蕴含式：$\forall x (D(x) \to P(x))$，例如“所有自然数是实数”符号化为$\forall x (N(x) \to R(x))$，其中$N(x)$是特性谓词。
• 存在量词后接合取式：$\exists x (D(x) \land P(x))$，例如“存在大学生继续读研”符号化为$\exists x (S(x) \land G(x))$，$S(x)$表示“x是大学生”。

四、什么是全总个体域？

全总个体域（Universe of Discourse）是默认的个体域，包含所有可能的个体。在未明确指定个体域时，默认使用全总个体域，并通过特性谓词限定讨论范围。
示例：

• 命题“所有猫都害怕狗”若使用全总个体域，需引入特性谓词$Cat(x)$和$Dog(y)$，符号化为：

  $$\forall x \forall y (Cat(x) \land Dog(y) \to Fear(x,y))$$

五、例题

例题1：符号化命题

命题：“存在自然数等于0”。
符号化步骤：

1. 使用全总个体域，特性谓词$N(x)$表示“x是自然数”；
2. 谓词$P(x)$表示“x等于0”；
3. 表达式：

   $$\exists x (N(x) \land P(x))$$

   解释：存在一个自然数x，使得x等于0。

例题2：验证推理有效性

前提：

1. $\forall x (Cat(x) \to \exists y (Dog(y) \land Fear(x,y)))$
2. $Cat(a)$（a是一只猫）

结论：$\exists y (Dog(y) \land Fear(a,y))$

解析：

1. 由前提1和前提2，应用全称实例化规则，得到$Cat(a) \to \exists y (Dog(y) \land Fear(a,y))$；
2. 结合$Cat(a)$，通过假言推理得出$\exists y (Dog(y) \land Fear(a,y))$。

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