一、命题的定义

命题是能判断真值（真或假）的陈述句，其特点包括：

• 必须是陈述句（疑问句、感叹句、祈使句等均非命题）；
• 具有唯一确定的真值（即使暂时无法验证，如“2050年元旦下大雪”仍为命题）。

示例：

• 命题：
  • “2+2=5”（假命题）
  • “三角形内角和为$180^\circ$”（真命题）
• 非命题：
  • “请打开门！”（祈使句）
  • “$x>10$”（真值不确定，因$x$未赋值）。

二、联结词及其优先级

1. 基本联结词及真值表

联结词	符号	名称	优先级	真值表（$P=1$为真，$Q=0$为假）
否定	$\neg$	否定词	1	$\neg 1=0$, $\neg 0=1$
合取	$\land$	合取词	2	$P \land Q=1$当且仅当$P=1$且$Q=1$
析取	$\lor$	析取词	3	$P \lor Q=0$当且仅当$P=0$且$Q=0$
蕴含	$\to$	蕴含词	4	$P \to Q=0$当且仅当$P=1$且$Q=0$
等价	$\leftrightarrow$	等价词	5	$P \leftrightarrow Q=1$当且仅当$P$与$Q$真值相同

说明：

• 括号可改变优先级，如 $(P \lor Q) \land R$ 中析取优先于合取。

三、命题公式的类型

类型	定义	示例
永真式（重言式）	所有赋值下均为真	$P \lor \neg P$（排中律）
永假式（矛盾式）	所有赋值下均为假	$P \land \neg P$（矛盾律）
可满足式	存在至少一组成真赋值	$P \to (Q \lor R)$

判定方法：通过真值表或等值演算验证。

四、逻辑等值与基本等值式

1. 逻辑等值

两个命题公式在所有解释下真值相同，称为逻辑等值，记作 $A \Leftrightarrow B$。

2. 基本等值式

等值式名称	公式
双重否定律	$\neg \neg A \Leftrightarrow A$
德摩根律	$\neg (A \lor B) \Leftrightarrow \neg A \land \neg B$ $\neg (A \land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B$
蕴含转化律	$A \to B \Leftrightarrow \neg A \lor B$
假言易位律	$A \to B \Leftrightarrow \neg B \to \neg A$
分配律	$A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C)$

五、对偶原理

对偶式：将公式中的 $\land$ 与 $\lor$ 互换、$T$（永真）与 $F$（永假）互换得到的公式。
对偶原理：

• 若 $A \Leftrightarrow B$，则其对应的对偶式 $A^* \Leftrightarrow B^*$；
• 若 $A \Rightarrow B$，则 $B^* \Rightarrow A^*$。

示例：

• 原式：$P \lor (Q \land R)$，对偶式：$P \land (Q \lor R)$。

六、命题公式的范式

1. 范式定义

范式类型	结构	示例
析取范式	简单合取式的析取	$(P \land Q) \lor (\neg P \land R)$
合取范式	简单析取式的合取	$(P \lor Q) \land (\neg P \lor R)$

2. 主范式

主范式类型	定义	极小项/极大项编码
主析取范式	所有极小项（含全部变元的合取）的析取	$m_0 \lor m_1 \lor m_2$（二进制编码）
主合取范式	所有极大项（含全部变元的析取）的合取	$M_0 \land M_1 \land M_2$（二进制编码）

应用：

• 主析取范式对应真值表中所有成真赋值；
• 主合取范式对应所有成假赋值。

更新日志

2025/3/14 17:37

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